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改訂版の問題 2b3_%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F1.png 目標 問題151 hoge → 解答 問題152 hoge → 解答 問題153 hoge → 解答 問題154 hoge → 解答 候補問題 問題151 コメント 問題152 コメント 問題153 コメント 問題154 コメント この節の問題全体に対するコメント コメント
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前ページ次ページLibrary/数学/統計学 キーワード 確率論 独立性 モーメント関数 大数の法則 中心極限定理 大偏差原理 確率不等式 チェビシェフの不等式 マルコフの不等式 シェルノフの不等式 カンテリの不等式(片側チェビシェフの不等式) キーワード 確率変数:離散確率変数、連続確率変数、多変数確率変数 独立性 モーメント関数 大数の法則 中心極限定理 大偏差原理 確率論 独立性 モーメント関数 大数の法則 中心極限定理 大偏差原理 確率不等式 チェビシェフの不等式 マルコフの不等式 シェルノフの不等式 カンテリの不等式(片側チェビシェフの不等式)
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代数ってな~に 簡単に言うと, 方程式や不等式のことを指します. といってもただの高次方程式・高次不等式だけではありません. 数オリでは関数について方程式(不等式)を解く「関数方程式」や, ガウス記号などの特殊な記号を含む方程式・不等式についても扱われています. このようなものをまとめて「代数」に分類しているのです. かなり広い範囲が代数に分類されますが, 意外に使うテクニックが限られており, ゴリ押しが通用することも多いため, 人によっては最もとっつきやすい分野かもしれません. 苦手という人もこのサイトを読んで代数を得意分野にしましょう!let s 代数! ちなみに筆者も代数苦手です 代数リンク 不等式① 基本の不等式を紹介するZOY!(考察中) 不等式② 相加相乗平均を攻略するZOY!(執筆中) 不等式③ コーシー - シュワルツの不等式を征服するZOY!(考察中) その他① 解と係数の関係でチートするZOY!(執筆中)
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改訂版の問題 2b4_%E6%8C%87%E6%95%B0%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F.png 目標 問題185(1) hoge → 解答 問題185(2) hoge → 解答 問題186(1) hoge → 解答 問題186(2) hoge → 解答 問題187 hoge → 解答 候補問題 問題185(1) コメント 問題185(2) コメント 問題186(1) コメント 問題186(2) コメント 問題187 コメント この節の問題全体に対するコメント コメント
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改訂版の問題 2b4_%E5%AF%BE%E6%95%B0%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F.png 目標 問題204(1) hoge → 解答 問題204(2) hoge → 解答 問題205(1) hoge → 解答 問題205(2) hoge → 解答 問題206 hoge → 解答 候補問題 問題204(1) コメント 問題204(2) コメント 問題205(1) コメント 問題205(2) コメント 問題206 コメント この節の問題全体に対するコメント コメント
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はじめに 相加相乗平均の不等式を使いこなせる人ってかっこいいですよね!(ね!) 特に, これは不等式の中でも基礎の不等式なので, 不等式分野をこれから学ぶ人はまず相加相乗平均の不等式を抑えておきましょう! 相加相乗平均の不等式ってな~に 相加相乗平均の不等式とは次のような不等式です. + 証明1 証明1 e^xを用いる方法. 以下のサイトの「相加相乗平均の不等式の証明(n変数)」を参照. https //manabitimes.jp/math/566 + 証明2 証明2 双方向帰納法を用いる方法. step1. nが2べきのとき成り立つことを示す. n=2のとき, (左辺)-(右辺)=1/2×(√a1-√a2)²≧0 より. n=2^k(kは正の整数)で成り立つと仮定する. al(1≦l≦n)=1/2×(b2l-1+b2l) を代入すると, n=2の不等式とあわせて, 2n=2^(k+1)のときも示されている. よって, nが2べきのときは成り立つことが示された. step2. あるnで成り立つならn-1でも成り立つことを示す. n=kで成り立つと仮定する. ak=1/(k-1)×(a1+a2+...+ak-1) を代入すると次を得る. 1/(k-1)×(a1+a2+...+ak-1)≧ k√{a1a2...ak-1×1/(k-1)×(a1+a2+...+ak-1)} 両辺をk乗→両辺を1/(k-1)×a1+a2+...+ak-1で割る→両辺のk-1乗根をとる よりn=k-1のときも成り立つ. よって帰納法が完成し, 全てのnについて示された. (a1 = a2 = ... = an が等号成立条件なのは明らか. ) 正の実数でないと使えないことに注意して下さい. 実際, (-4)+(-8)/2 ≦ 2√(-4)×(-8) となってしまいます. 使用例 いきなりですが, 次のような問題を考えてみて下さい. 実はこれは相加相乗平均の不等式を使うことで解くことができます. + 解答 解答 相加相乗平均の不等式より, x+9/x ≧ 2√{x × 9/x} = 6. x=3 のとき等号が成立するため, 答えは6. 等号成立条件の確認を忘れないようにしましょう. このような問題では, 積が定数になることが重要です. 次数を合わせる さて, 数オリ・OMCでは次のような問題も頻出です. これは知らないと少し厳しいかもしれません. + 解答 解答 相加相乗平均の不等式より, x²+16/x = x²+8/x+8/x ≧ 3 ³√{x² × 8/x × 8/x} = 12. x=2 のとき等号が成立するため, 答えは12. この問題では積が定数にならず, 2変数の相加相乗平均の不等式が上手く使えません. そこで,解答では「次数を合わせる」ということを行っています.積がちゃんと定数になるのがミソです. 一般に, ax^m + bx^{-n} (x 0) の最小値はこのように求めることができます. (重み付き相加相乗? 聞いたことない名前ですね...) 重み付き相加相乗平均の不等式 上でもちょっと触れましたが, 実はこんな不等式が成り立ちます. + 証明 f(x)= -log x は凸関数であるから,これにJensenの不等式を適用する. (Jensenの不等式については,今後執筆予定) 式はごついですが, やっていることは「次数を合わせる」です.これを使うと上の問題を自然に解くことができます. + 解答 解答 重み付き相加相乗平均の不等式より, x²+16/x = 3/2 (1/3×2x² + 2/3×16/x) ≧ 3/2 × ³√(2x² × 256/x^2) = 12 x=2 のとき等号が成立するため, 答えは12. 重みの和を1にしています.少なくとも筆者はこれが簡単だとは思いませんが... problems 中には難しいものもあるかもしれませんが,根気強く考えてみて下さい! (概ね難易度順です.) 1. xが任意の正の実数を動くとき,x³+12/x の最小値を求めて下さい. + 解答 相加相乗平均の不等式より, x³+12/x = x³+4/x+4/x+4/x ≧ 4 ⁴√{x³ × 4/x × 4/x × 4/x} = 8√2. x=√2 において等号成立. 2. (OMC143 - A) xが任意の正の実数を動くとき,(x + 20/x)(x + 500/x) の最小値を求めて下さい. + ヒント ヒント ()それぞれに使うことはできない.(等号成立がx=√20=√500というおかしなことになってしまう!) 展開してみよう. + 解答 解答 (OMCのページ) https //onlinemathcontest.com/contests/omc143/editorial/5549 (このように,展開すると相加相乗平均の不等式が使えることがある.) 3. xが任意の正の実数を動くとき,x + 16/(x+1) の最小値を求めて下さい. + ヒント ヒント 積を無理やり定数にする. + 解答 解答 相加相乗平均の不等式より, x+1+16/(x+1) ≧ 2√16 = 8 であるから,求める答は 8-1 = 7. x=3 において等号成立.
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改訂版の問題 2b1_%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E.png 目標 問題8 hoge → 解答 問題9 hoge → 解答 候補問題 問題8 コメント 問題9 コメント この節の問題全体に対するコメント コメント
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ラグランジュの未定乗数法 このページを編集 目次 ラグランジュの未定乗数法目次 概要 例 解説1.がに対して常に垂直であることの説明 2.未定乗数が存在することの説明 3.ラグランジュ関数を偏微分し連立方程式を解くと解候補が求まることの説明 制約に不等式制約を含む場合有効制約と無効制約 相補性条件 KKT条件 主問題と双対問題主問題から双対問題への変換 概要 ラグランジュの未定乗数法とは、D次元の変数に対し、q個の制約条件(束縛条件とも)の下で関数を最適化する(最大化、最小化)ために用いる数学的手法である。 まず、ラグランジュ乗数を導入し、次にラグランジュ関数 を導入する。 このとき、 の連立方程式を解くことによって解の候補が得られる。 例 関数を制約条件の下で最大化する問題を考える。 まず、 とする。ここで、 を解けばよい。 (a)-(b)より、で、であるからが成り立つ。これを(c)に代入して、 よって、 (複号同順) この値をfに入れて計算すると、最大はでとなる。 解説 1.がに対して常に垂直であることの説明 まず上の点、とを考える。の大きさは微小であり、これら2点は互いに近傍であるとする。この時、の周りののテイラー展開より が成り立つ。ここではの勾配(グラディエント)を表しており、 である。またはランダウの記号である。 ※ここでは、テイラー展開について言及しません。 とはともに上の点であったから、 の関係が成り立つ。ここでとすると、 である。 また、の時は点における接線であるから、制約式の勾配は曲面に対して常に垂直であることが分かる。 図・∇gはg(x)=0と常に垂直である(EPS) 2.未定乗数が存在することの説明 制約条件上で、関数が最大となる点をとおく。においてはもに対して垂直となる。もし、垂直でないと仮定すると、下の図のようにさらにが大きくなる方向にxが移動できるからである。 図・∇gと∇fが平行で無い状態(EPS) よって、であることが分かる。これは、すなわち という関係が成り立つ。このがラグランジュ乗数である。 図・∇gと∇fが平行になる点が解の候補である(EPS) 3.ラグランジュ関数を偏微分し連立方程式を解くと解候補が求まることの説明 ラグランジュ関数は以下のように定義した。 まず、根本となる制約条件はから導くことが出来る。 次に、解説2.で得られたという条件は、から導くことが出来る。 (1)式から1個の方程式が、(2)式からD個の方程式が得られる。計(D+1)個の方程式が得られるので、これを解けばの候補とを求めることが出来る。の候補のみを求めればよい場合、を消去してから解を求めることが出来る(を求める必要がない)。これが未定乗数という名の由来である。 制約に不等式制約を含む場合 続いて、制約に不等式制約を含む場合に、ラグランジュの未定乗数法を適用する。すなわち、q個の等式制約とr個の不等式制約がある場合を考える。なお、不等式制約は、 のように不等号の向きを統一しておく。 有効制約と無効制約 不等式制約は有効制約(アクティブ制約)と無効制約(ノンアクティブ制約)に分けることが出来る。 有効制約 最適解において等号が成り立っている。すなわち、であるもの。 無効制約 最適解において不等号が成り立っている。すなわち、であるもの。 図・有効制約と無効制約 図・有効制約と無効制約 もし、不等式制約が有効制約か無効制約かを予め知ることが出来れば、不等式制約付き問題は等式制約付き問題と同様に扱うことが出来る。すなわち、有効制約を等式制約として扱い、無効制約を無視する。 不等式制約のうち、有効制約の番号の集まりをとし、無効制約の集まりをとする。 すると、ラグランジュ関数は、有効制約のみを等式制約として考えればよいのだから、 と置くことが出来る。 ここで注意すべき事は、ラグランジュ乗数の取り得る値の範囲である。等式制約ではが解の候補である条件であったが、不等式制約ではとの向きも考える必要があるため、の取り得る値の範囲は制限される。 例えば、最小化の場合には、 図・∇fと∇h(最小化) 上図から、最小化の際にはとが逆向きである必要があることがわかる。よって、 である。 次に最大化についてみてみると、 図・∇fと∇h(最大化) 上図から、 であることが分かる。 ※ここでは最小化、最大化の2つの場合によってラグランジュ乗数の正負を変えたが、ラグランジュ関数を変えることもある。 つまり、最小化するときのラグランジュ関数を 最大化するときの関数を と置く。このとき、は最小化・最大化に関わらずである。 ※不等式制約の不等号の向きによっても、の不等号の向きは変化するので注意。 相補性条件 ここまで、有効制約と無効制約が予め分かっているという前提で話を進めてきたが、実際はそうではない。この問題に対して、相補性条件と呼ばれる条件を導入する。 相補性条件 この条件を導入することによって、有効制約と無効制約を区別する必要がなくなる。すなわち、ラグランジュ関数は以下のように書くことが出来る。 もし、が有効制約であったとすると、最適解ではであるため、この相補性条件によって乗数が制限されることは無い。しかし、が無効制約の場合はであるためとなる。そのため、ラグランジュ関数のは無視することが出来る。 KKT条件 以上をまとめると、不等式制約付き最適化問題(最小化の場合) は、ラグランジュ関数 を、 の条件の下で最適化してやればよいということが分かる。これらの条件(2)、(3)、(4)をKKT条件(カルーシュ・キューン・タッカー条件、Karush-Kuhn-Tucker condition)という。 ※最適化問題では、目的関数を最小化、 制約条件は とするのが標準的です。もちろん、問題の定式化にはいろいろありますが。 主問題と双対問題 ラグランジュ関数はと表された。ここで最適解を、最適解におけるの値をそれぞれとする。 するとであるから、となる。 また、であり、よりであるから、である。 さらに、制約無し最小化問題を定義する。これは制約有り最小化問題よりも、制約がない分値を小さくすることが出来る。つまり、である。 以上(a),(b),(c)より、 であることが分かる。これまで、を最小化することによってを求めてきたが、を最大化することによってもを求めることが出来る。前者の最小化問題を主問題、後者の最大化問題を双対問題と言う。 主問題 制約条件のもとで、を最小化する。 双対問題 制約条件のもとで、を最大化する。 サポートベクトルマシンの最適化問題においては双対問題を解くことになる。 主問題から双対問題への変換 カテゴリ:MISC 名前
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ここを編集 このページはまだ途中です。 このページはPRMLを参考にしています。 問題設定 変数定義 観測変数を、潜在変数をとする。、変数は、事前分布に従う。 なお、は離散変数として扱う。 目標 からとを推測したい。そのために、次式で表される尤度関数を最大化したい。 そして、最大化した際のとを使って、予測分布を得たい。 準備 イェンゼンの不等式(Jensen s inequality) 凸関数に対して以下の不等式が成り立つ。 凹関数の場合は、不等式が逆転する(つまり対数関数なら逆転する)。
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1章 数と式の計算 たすき掛け 多項式割り算 数直線 数体系 複素平面 2章 方程式と不等式 不等式1 不等式2 算術幾何平均 ド・モルガンの法則 命題 部分集合 共通集合 和集合 補集合 3章 関数とグラフ 関数y=f(x)のグラフ 2次関数 2次関数の最大・最小 2次不等式 分数関数 逆関数 4章 指数関数と対数関数 指数関数の表 指数関数のグラフ 対数関数のグラフ 5章 三角関数 三角比の表 180°-αの三角比 余弦定理 一般角 扇形の公式 三角関数の値 三角関数の性質 y=sin xのグラフ y=tan xのグラフ 三角方程式 三角関数の加法定理 三角関数の合成 6章 図形と式 2点間の距離 直線の平行と垂直 楕円 双曲線の定義 双曲線の性質 放物線の標準形 線形計画法 7章 場合の数と数列 場合の数 樹形図1 樹形図2 組合せ 最短路 二項定理